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Todas las obras publicadas en este blog, son Obras Inéditas, y cuento con el Registro Nacional dela Propiedad Intelectual
Todas las obras publicadas en este blog, son Obras Inéditas, y cuento con el Registro Nacional de
Reservados todos los derechos. De conformidad con lo dispuesto en el artículo 270 del Código Penal vigente, podrán ser castigados con penas de multa y privación de la libertad quienes reprodujesen o plagiaren en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica fijada en cualquier tipo de soporte, sin la preceptiva autorización.
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All works published on this Blog are Unpublished Works, and I count on the National Register of Intellectual Property of each: All rights reserved. In accordance with Article 270 of the Penal Code, may be punished by fine and imprisonment those who reproduce or plagiaren in whole or in part, a literary, artistic or scientific fixed in any medium, without the required authorization.
Marcos
Jesús Paredes
Resolución de la conjetura de Collatz,
por MJP
Conjetura de Collatz
Fue formulada por el matemático Löthar Collatz en
1937.
Escogemos un número natural n. Si es impar, lo
multiplicamos por tres y al resultado le sumamos uno. Si es par lo dividimos
por dos. En cualquiera de los dos casos, al número obtenido le volvemos a
aplicar el mismo proceso.
Por ejemplo:
7-> 22-> 11-> 34->
17-> 52-> 26-> 13-> 40-> 20-> 10-> 5-> 16-> 8->
4->
2 -> 1-> 4-> ...
Como observaréis, en nuestro caso hemos llegado a un
ciclo:
4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1...
La conjetura de Collatz afirma lo siguiente: sea
cual sea el número natural de partida, SIEMPRE se llega a ese ciclo.
Resolución de la Conjetura de Collatz por
MJP
Demostraré ahora, a través de
un simple desarrollo de análisis matemático, que éste enunciado, es verdadero.
Fórmulas generales:
Sea un número par cualesquiera, su fórmula general,
es la siguiente:
Es decir:
Par = 2n
Sea un número impar cualesquiera, su fórmula
general, será:
Entonces:
impar = 2n+1
Teniendo en cuenta estas fórmulas generales, se
entiende de acuerdo con la conjetura de Collatz, que:
Si:
n = Par
En consecuencia:
Par / 2
y en consecuencia si n es impar
n = impar
Es entonces:
impar * 3 +1
Por lo que ha de comprenderse, que en la secuencia
consecutiva, de repeticiones de los procesos aplicados, a un número natural n
(tal que n sea impar), se obtendrá como resultado del proceso de éste, un
número par. El razonamiento es el siguiente:
Si:
impar = 2n+1
Tal que, en la conjetura de Collatz:
Si:
n = impar
Entonces:
impar * 3 +1
y como:
impar * 3 + 1 = (impar + impar + impar) + 1
Se deduce que:
impar * 3 +1 = Par
Ya que:
2 * impar = Par
y
1* impar + 1 = Par
En consecuencia:
2 * impar + 1* impar + 1 = impar * 3 + 1
Tal que:
Par + Par = Par
Se comprende entonces; que los valores de los resultados han de decrecer
hasta uno a partir de que:
Cualesquiera que sea el duplo de un número impar,
más el impar, más 1, viene dado según la conjetura de Collatz, por la
interpretación analítica de los múltiplos de 2, es decir: que si n, es impar, se llevará a n, a un valor
par; para que cumpla con la
condición solicitada por el enunciado de la conjetura. Tal que si tomamos un
número n, tal que n sea par, seria lo mismo representar a n, de la siguiente
manera:
2 * impar + impar + 1 = Par
Si:
n = par
Par = ½ (2n)
En tal caso se entiende, que por tal solicitud y de
acuerdo a la conjetura, que se trabajará con los medios de los pares de: impar
* 3 + 1, al igual, que con los medios de los valores de n, tal que n sea par,
(“por lo que se entiende, que mediante el proceso determinado por la conjetura,
el valor de n a de ser ≥1”).
Determinando entonces, que estos valores que son
mayores que 4, siempre tenderán a decrecer hasta ser ≥1, quedaría determinada
la resolución de la conjetura de Collatz
A partir de esta imperiosa necesidad, surge la
siguiente deducción analítica, pues se razona que mientras los impares
incrementan en la razón de (impar * 3 + 1), para luego decrecer en ½.
Los valores pares de n, directamente disminuyen en ½ de su
valor, de modo tal, que obtenemos resultados pares, que no son intercalados con
valores de un número par, impar, par, impar,..., consecutivamente, es decir:
estos valores son variables y la cantidad de números pares al aplicar el
proceso solicitado por la conjetura, siempre es mayor que la cantidad de números impares. Además se
entiende de estos resultados pares que se dividen repetidamente, son menores al
par que anteceden al impar. Es decir: si tenemos por ejemplo, un número par,
luego un impar, un par y un par, este último, es menor que el par que esta
antes del impar.
Tal que sea:
impar = 2n + 1
Entonces:
2n -> n -> n * 3 + 1 -> (n * 3 + 1) / 2
->...-> 4 -> 2 -> 1 -> 4 ->...
par -> impar -> par1 -> par2
->...-> 4 -> 2 -> 1 -> 4 ->...
par < par1
par > par2
par1> par2
impar < Par
impar < Par1`
impar < Par2
Sea por ejemplo:
2 * 13 -> 13 -> 3 * 13 + 1 -> (3 * 13 + 1 )
/ 2 ->...-> 4-> 2 -> 1->
4-> ...
en fórmulas generales:
2n-> n -> 3n + 1 -> (3n + 1) / 2... ->
4-> 2 -> 1-> 4-> ....
tal que:
2n < 3n + 1;
Entonces:
n = impar
2n < (2n) + (n + 1)
Por ejemplo:
2 * 13 -> 13 -> 3 * 13 + 1 -> (3 * 13 +1) /
2 ->...-> 4-> 2 -> 1-> 4-> ...
en fórmulas generales:
2n -> n -> 3n + 1 -> (3n + 1) / 2->...
-> 4-> 2 -> 1-> 4-> ...
tal que:
2n > (3n + 1) / 2;
Es decir:
n = impar
2n >(2n + (n + 1) / 2)
2n > (2n / 2) + ((n + 1) / 2)
De esta manera puedo inferir,
que a través de este procedimiento determinado por la conjetura de Collatz, los
valores tienden a decrecer hasta el valor 1, del ciclo de Collatz. Sin embargo,
esta inferencia no deja de ser una hipótesis, que ha de confirmarse, en los
siguientes razonamientos.
Pues teniendo en cuenta las condiciones de la
conjetura, se deduce que el valor par mínimo seria el 2, ya que se interpreta
analíticamente, que a través de la generalización con la fórmula 2n, obtenemos
todos los números pares, tal que siempre hemos de llegar al múltiplo de “2” , y de allí que el ciclo de
Collatz, a de conformarse a partir de este valor constante, que actúa como
función del ciclo entre los valores 4 y 1, tal que:
4 / 2 = 2 2
/ 2 = 1 1 * 3 +
1 = 4
2 / 2 = 1 1 * 3 + 1 = 4 4 / 2 = 2
1 * 3 + 1 = 4
4 / 2 = 2
2 / 2 = 1
Además, se entiende que partiendo, ó llegando, a través
de la solicitud de la conjetura a un número par, tal que este al ser dividido
por 2, se da la repetición consecutiva de resultados pares, este decrece, hasta
el valor del número 2, que
es valor intermedio del ciclo de Collatz, este
primer valor par de la repetición consecutiva, se razona viene dado por la
fórmula general 2n . Por lo que se deduce; que este valor
a de ser el valor límite de
incremento, para los valores pares, ya sea para (2n + 1) * 3 + 1 = 2n
como para (2 n) /2 = 2n , de modo tal que para facilitar el
proceso solicitado por la conjetura de Collatz, si utilizaremos el proceso
inverso de la potenciación, es decir; por la radicación de ⁿ√ 2ⁿ , tal que, por medio
de la simplificación, se llegará al valor 2, que es valor intermedio, del ciclo
de Collatz. Demás esta decir; que este límite de incremento 2n,
queda como axioma a la finitud del incremento (hasta cumplir con el ciclo de
Collatz), es decir; el incremento dado por el proceso de tal conjetura, no
es infinito. Y además se entiende que independientemente de que se llegue a
un valor igual a 2n, o no (valor máximo de
incremento), en las sucesivas repeticiones de la aplicación de proceso dado por
la conjetura; este valor, decrecerá hasta el valor 2, que es función del ciclo
de Collatz.
Por ejemplo:
Valor límite de incremento:
(partiendo del número 64)
64-> 32->
16-> 8-> 4-> 2 -> 1-> 4-> ...
(llegando al número 64)
21 ->64->
32-> 16-> 8-> 4-> 2 -> 1-> 4-> ...
En este caso, el valor límite de incremento,
es el número 64 que es igual a 26
Valor
máximo de incremento:
7-> 22-> 11-> 34->
17-> 52-> 26-> 13-> 40-> 20-> 10-> 5->
16-> 8-> 4->
2 -> 1-> 4-> ...
En este ejemplo; se deduce
fácilmente, que el valor máximo de incremento, es el número 52; que es
por ende, el mayor número encontrado, en la aplicación del proceso dado por la
conjetura.
Téngase en cuenta que este
valor máximo de incremento, puede ser mayor o igual, que el valor límite
de incremento. Sin embargo, no ha de confundirse que; por que existan casos en
lo que el valor máximo de incremento, sea mayor que el valor límite
de incremento; este incremento pudiese llegar a ser infinito, ya que como he
hecho mención anteriormente; es a través del valor límite de incremento,
que queda demostrado la finitud del incremento mismo, cuando el valor límite de incremento, es igual al
valor máximo de incremento. Argumentación, que quedará demostrada, por lo
siguiente:
Por ejemplo:
84 -> 42 ->
21 ->64-> 32-> 16-> 8-> 4-> 2 -> 1->
4-> ...
Aquí el valor máximo de
incremento es el número 84, mientras que el valor
límite de incremento,
que es menor, es el número 64.
64-> 32->
16-> 8-> 4-> 2 -> 1-> 4-> ...
Mientras que se observa en este
ejemplo, que el número 64 es el valor máximo de incremento, que a su
vez, es igual que el valor límite de incremento,
Pues se razona y dice
entonces; que los procesos solicitados por la conjetura de Collatz, convergen
en fórmulas, cuando: el valor límite
de incremento, es igual al valor máximo de incremento (se deduce además,
que NUNCA será mayor, el valor límite de incremento, que el valor máximo de
incremento), y que a raíz de ello, queda demostrada la finitud del incremento
mismo.
Se entiende como axioma, que el enunciado que da esta
conjetura, es verdadero.
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"ANEXO ANÁLOGO"
Permítanme explicarles ahora por medio análogo mi
demostración anterior, "así será más simple de entender lo siguiente": imaginen que
ustedes tiene un solo procedimiento (“prescindiendo de la fórmula general (2n +
1) * 3 + 1” )
para llegar al “valor medio del ciclo de Collatz”, el cual viene dado “desde”
2n. Es decir, ustedes deben multiplicar TODOS los números (iniciando desde un
número n “cualquiera”) hasta encontrar números que sean
potencia enésima de base 2 (lo cual es una axioma, pues TODA potencia enésima
en base 2, tiene como resultado, un número PAR), ahora, solamente deberán
añadir "dentro de TODOS los valores encontrados" la fórmula general
(2n + 1) * 3 + 1 la cual se encuentra “incluida” como axioma dentro de los
resultados hallados, pues TODO número “IMPAR multiplicado por 3 + 1” es igual a PAR. Así se
concluye que sin importar cuantas veces se repita la acción del algoritmo,
siempre existirá una potencia enésima en base 2, que a su vez será el “valor
límite de incremento” en las “fluctuaciones”, para luego decrecer hasta el
ciclo de Collatz (debido al proceso inverso de la potenciación).
Es decir, lo que les estoy explicando análogamente, es que por un “camino u otro” usted llegará al mismo resultado, porque ambos son análogos, pues “(2n + 1) * 3 +1”
es también SIEMPRE igual a PAR (2n). Es IMPORTANTE razonar que en 2n está
incluido TODO el conjunto de números pares ("e impares por consecuencia de
n"), "de acuerdo a lo solicitado por la conjetura", de ahí mi “demostración
análoga”…
Es decir, lo que les estoy explicando análogamente, es que por un “camino u otro” usted llegará al mismo resultado, porque ambos son análogos, pues “(2n + 1) * 3 +
Ahora, si usted ve las fechas de mis trabajos
científicos en “mis antecedentes científicos e institucionales”, sabrá que mi
demostración de la
Resolución de la
Conjetura de Collatz, por MJP, fue realizada (y registrada
por mi en el Registro Nacional de la Propiedad Intelectual )
en año 2008. Luego si busca información en el buscador de Google sobre la
“evidencia computacional” (sobre la cual no he encontrado en las fuentes
informativas, en donde se llevó a cabo la supuesta “evidencia computacional”)
que figura en Wikipedia y en otros Sitios Web, notará que las fuentes
informativas tienen fecha posterior a la publicación en mi Blog y que a pesar
de que “se dice” que la “evidencia computacional” fue realizada en el año 2005,
no se ha demostrado el análisis matemático correspondiente sobre la resolución
de la misma conjetura…
